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分形对象——形、机遇和维数

作者:(法)B。曼德尔布洛特(Benoit Mandelbrot)著;

文志英,苏虹译

出版社:世界图书出版公司北京公司

出版年:1999

页数:195


原文:📎分形对象——形、机遇和维数.pdf


第一章 引论

在本节中我们将借助于一大类直到现在还被认为是难理解、不能应用的几何对象来研究各种广为大家所熟悉的自然物体(如地球、天空和海洋)。关于这一大类所谓难于理解、不能应用的几何对象,我想证明的正与人们的上述观点相反,我认为由于这类几何对象的简单性,多样性及其特别广泛的新应用,我们应该尽快地将它们纳入初等几何的范畴。尽管对它们的研究可以分属不同的学科,包括地貌学、天文学和湍流理论,但所涉及的自然物体都具有极端不规则或不连续这一共同特点、为了便于研究这类物体,我提出并广泛应用了关于自然界的一种新的几何学。

起主线索作用的概念是“分形对象”与“分形”(fractal)这两个同义新词中的一个,它们是我出于本书的需要,刚从意为“不规则的或断裂的”拉丁语形容词“fractus”派生出来的。

是否应该用一种严格的方式来定义分形图形,再据此来说明一个实体是分形的若构成该模型的几何图形是分形的?我认为建立这样一种形式化还为时过早,为此我采用了一个与前者截然不同的方法:该方法建立在对分形的一种广泛、直观的刻画上,然后再逐步依序地来展开讨论。

本书的副标题强调指出了我的初衷是从外部来描述各种物体的形态,这是研究的第一步,一旦完成,工作的重点马上就应该从描述过渡到解释:从几何学到动力学,到物理学再到其他领域。副标题同时也表明了,为了产生分形的不规则性,我采用了一些随机性在其中起主导作用的构造

副标题最后说明了分形维数(记作D)是所有分形对象的主要特征之一。它量度分形物体的不规则和断裂的程度。可是,与通常的维数不同,分形维数可以是一个简单的分数,如1/2或5/3,甚至可以是一个无理数,如log4/ log3~ 1.268......或者π。这样,们就可以说某些极不规则的平面曲线的分形维数在1和2之间,也可以说某些多层与多褶的曲面的分形维数在2和3之间,我们同样也可以定义直线上分形维数在0和1之间的尘埃。

在某些数学著作中,人们把被我归入分形的各种已知图形称为“具有分数维的”,但这个术语是不合适的。比如说,习惯上不把π看成是一个分数。更重要的是,在分形中,有许多不规则或断裂的物体满足D= 1或D=2,但它们,无论以何种方式,都不能与直线或平面进行类比,使用“分形”这一称谓的目的之一就是为了消除“分数维”这一名词所产生的困难。


为了说明哪些物体应被看作是分形,我们先回忆一下,在用科学来描述世界的努力中,人们是通过一系列越来越“现实的”模型或图形来达到目的的。最简单的是完全均匀的连续体,如一根丝线或密度均匀的宇宙,或者温度、密度、压力和速度都均匀的流体。在许多领域中,上述理想化模型,特别是以它们为基础加以修正后的模型起着十分重要的作用。在这些领域,物理学已获得了成功,但在其它一些领域中,现实中的实物是如此不规则,以致完全均匀的模型不仅不能适用,甚至不能作为第一步近似来使用。这是使物理学遭受失败而物理学家们也从不愿谈论的一些领域(注:这是1975年时的情形,现在远非如此了)。为了介绍这些领域以及我所建议的研究方法,我引用名著《原子》(Perrin 1913)中鲜为人知的前言中的几段话(见下节) :


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JeanPerrin谈不规则或断裂态的熟知现象的地方

“我要作一些说明,与其说是针对将要读本书的人,不如说是针对那些刚刚读完它的读者,其意义在于对数学家们的逻辑要求作出客观的判断。”

“我们都知道,在给出严格的定义之前,人们先对初学者指出他们已经具有的关于连续的概念。在他们面前,画一条清晰漂亮的曲线,并用一根尺贴着它的轮廓说:你们看,在这条曲线的每一点上都有切线、或者更为抽象一点,对于一个运动着的物体,为了解释它的轨道上一点的真实速度,就问他们:当轨道上两个点相互无限靠近时,你们是否感到,这两点间的平均速度最终没有显著的变化。事实上,很多人会想起某些熟悉的运动并认为一切似乎确实如此,因而看不到上述说法蕴涵着巨大的困难。”

然而数学家们都知道,这些所谓的几何推理缺乏严格性,并且明白通过画一条曲线来证明所有连续函数都有一个导数这种想法是非常幼稚的有导数的函数是最简单、最容易处理的函数,可它们毕竟都是些例外,如果采用几何的语言,没有切线的曲线是极其常见的,而象圆那样很规则的曲线,尽管十分有意思,但却是太特殊了。”

“乍一看来,这种限制好像只是一种虽然精巧,但过于人为、无用并带有追求完美严格这种狂热愿望的智力练习,更为常见的是,当对人们谈到没有切线的曲线,或者没有导数的函数时,他们一开始就会想当然的认为:自然界显然既不包含这样复杂的东西,也不会让人产生这样的想法。”

‘然而恰好是这一观点的反面是正确的。数学家们的逻辑使他们比物理学家们所运用的实际描述更接近于现实。事实上,只需不带简单化的成见考虑某些实验数据时,就可以认识到这一点”

“在人们研究胶体时,这种数据大量出现了,给肥皂水加盐后,会出现许多白色泡沫。选一团肥皂泡沫进行观察,从远处看,其边界似乎是清晰的,但只要靠近一点,就变得模糊了,人的眼睛不再能够确定它在一点处的切线:一条直线刚开始时还可以说是这团泡沫边界的切线,可是再进一步地仔细观察,对于边界,这条直线就变得似乎是垂直的或倾斜的,即使使用放大镜或显微镜,得出的结论还是一样不明确,因为每增加一次放大的倍数,就会看到新的凸凹不平,因而根本不可能得到一个光滑的小钢球所给予的那种清晰令人放心的感觉。如果说这个小钢球给出了一个有用的经典连续图形,那么这团肥皂泡沫在逻辑。上就可以引出无导数的连续函数这个更为广泛的概念。”

“值得注意的是,一团肥皂泡沫边界上一点的切面的不确定性与布列塔尼海岸线上一点的切线的不确定性并不是完全一样的。按照不同的比例尺所绘的地图,海岸线的切线有变化,但每次我们总可以作一条切线。这是因为所绘的地图是一种传统的图形,由于作图本身的原因,所作的曲线都是具有切线的。与此相反,一团肥皂泡沫的本质特性在于在任何比例尺下,我们总感觉到它具有一些不为人们很好了解的细微结构使得我们不能固定一个切面(如果不是在地图上研究海岸线,而是从或远或近的地方来更深入地观察它,我们可以发现海岸线的本质特性也是如此)。”

“在实验条件下用显微镜观察悬浮在液体中的一个小粒子的布朗运动。为了确定它的运动轨道的切线,先用一条直线连接该粒子在相邻两时刻所处的位置,再找出此直线方向(至少是)近似的极限、但是,只要做实验,就会发现,当相邻两时刻之间的间隔缩短时,直线的方向变动很快,任何不抱成见的观察者由此研究所能联想到的只能是无导数函数,而根本不是带切线的曲线。”


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混沌中两种序的注释:欧几里得序和分形序

为了说明上述论述的历史意义,我们来读Perrin的著作(可续读《原子》一书或本书1975年版)。大约在1920年,这些观点使年轻的NorbertWiener受到震动,并促使他建立了在本书中将讲到的很多布朗运动的概率论模型、Wiener喜欢采用“混沌”这一个词来说明自然界极端混乱的程度。我们从现在起借用这一术语,它使我们注意到Perrin曾作的两个说明:一方面,自然界的几何是混乱的,不能用通常形式的欧几里德几何或微积分中的那种完美的序来表示;另一方面,它使人们联想到在1900年左右所创立的那些数学的复杂性。

可惜的是Perrin的这些论述的影响似乎到了Wiener就停止了, 正是Wiener 的著作给了我主要的启发,Perrin的哲学只是到本书最后一次校订时才引起我的注意。当我用公认的“高等”数学工具来研究某些朴素的(但随机性已经被非常了解的)混沌现象的同时,在某些国家,分形这一领域(当时还没有名称)已经出现了,然后又有了一些新的分形研究,与最初出现的分形研究不尽相同,直到很久以后,这些越来越多的研究成果积累起来才形成一门新的学科。

分形几何具下面两种选择性特征:一是在自然界的混沌现象中选择问题,因为描述整个混沌是一个既无意义又无可能的主张;另一个是在数学中选择工具,因为数学的优美还表现在我们在那儿寻求其应用时从不会遇到失望。

这两种选择逐渐成熟并由此产生出新的东西:在不受控制的混沌领域和欧几里德序之间,将有一个具有分形序的新领地。


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提出的求解概念:有效维数,图形及分形维数

布朗运动的轨迹不仅是最简单的分形,而且Wiener提出的模型本身已经表现出令人惊奇的特征:这是一条分形维数取异常值D=2的连续曲线。

分形维数的概念出现在1875年至1925年之间所创立的数学中,更一般的而言,本书的目的之一在于证明:这个时期所创造的被Vilenkin 在1965年称作数学“艺术博物馆"而被其他人称为“怪物画廊”的几何图形的群体同样可以作为"发现馆”进行参观。对于这一类图形,我的老师Paul Levy (正如我在第十五章中所谈到的那样,即使他的工作不顺应时代,他也是伟大的)作了很多补充,并将重点放在随机性的作用上。

这些几何图形在教学中从来没有机会谈到,只是从“现代”稻草人的状态过渡到不值得注意的、过于特殊的例子的状态。在本书中,我想通过找到它们的用途来介绍它们,我想说明的是:它们形式主义的外壳使其孤立开来的,由此导致无法揭示出这些图形具有某些极其简单、具体和直观的内容。

我不仅要证明它们确实是有用的,而且用很简单的工具就可以很快地应用它们,几乎不需要任何形式上的准备、关于它们,经验往往证明,那些并不视其为不可逾越的沙漠的人们,很快就会把它们看作乐园而不愿离去


MolyChin:这句的话的意思是,只有实际接触过(生成过)分形图形的人,对(分形)新生事物不抱畏惧心态的人,只要进入这个宝藏库,就能被它吸引而沉溺与它自身的美感和神秘而不愿抽身离去。


我深信勉强地、抽象地“追求形式”,并由此产生大量概念术语所带来的坏处比好处要多。我不是最后一个对不够精确的科学感到遗憾的人,这些科学中的原理甚至是不够确定的,但却最适于建立其公理体系并使其严格化、一般化。因此我很高兴谈论很多全新的例子,对于这些例子,其形式和内容之间的关系通过传统的密切的方式表现出来。

在谈到取值可以是分数的维数之前,我们最好能理解维数概念在物理中的作用。

首先,在初等几何中,我们知道一个孤立的点或有限个点组成维数为零的图形;一条直线,以及其它的“标准”(这个定语出自通常的欧几里德几何中)曲线组成维数为1的图形;一个平面,以及任何其它的通常曲面组成维数为2的图形;一个立方体维数为3。这些几何对象已为人所熟知,但从1919年起,从Hausdorf开始的数学家们补充了某些维数不再是整数的理想化的图形、它们的维数可以是一个分数,如1/2, 3/2, 5/2,也可以是一个无理数,如log4/log3~ 1.2618,甚至可以是一个复杂方程的解。

为了区分这些图形,首先可以很粗略地说:维数在1和2之间的图形必然比一般的曲面更“薄”,比一般的线更“粗”。特别地,如果它是一条曲线,它的面积应当为零而长度应为当无穷大。同样地,若一图形的维数在2和3之间,它的体积应当是零。为此,在本书中我们先给出一些曲线的例子,它们不伸展到无穷远,而其上任意两点间的长度都为无穷大。

涉及分形维数的基本框架的论述早已存在,但这只是一小部分纯粹数学家们的智力财富。人们在这里或那里都可能读到过这样的见解,即认为被我称之为分形的这种或那种图形是如此美丽,它们肯定会在某些地方找到用处。但这些见解只是表明了一种空洞的希望,在本书以后各章我将指出如何有效地实现这种希望,使有关的理论得以充分的发展。每一章研究一类具体对象,可以说所有这些对象正如我们曾隐约讲到的理想图像一样,其有效物理维数有异常的数值。


但是到底什么是有效物理维数呢?这是一个直观概念,它起源于原始状态时期的希腊几何,却值得再采用、思考和重新重视。它与图形和实体之间的关系有关:图形表示数学上理想的东西,而实体却表示实际的东西。按照这个观点,一个小球,一片薄纱或一根线,不管它们怎样稀薄和细小,与一个大球一样,都必须用三维图形来表示。

然而实际上任何物理学家都知道必须区别对待这三样东西,都知道这样考虑是有用的:一片薄纱,一根线或一个球,如果它们足够稀薄和细小的话,其维数应该分别接近于2, 1, 0。

明确一下上面的第二个说法:为了描述一条线,既不可能直接应用和球有关的理论,也不可能应用和理想的线有关的理论。在这两种情况下,必须引进“修正项”。人们肯定喜欢所需要修正为最少的几何模型,即如果机会好,当略去这些修正,对于所研究的对象,该模型仍给出一个很好的近似。换句话说,物理维数必然有一个实际基础,因而是主观的,它涉及到近似精度的等级。

下面的例子可以对上述讨论给出一个直观的印象:以直径为1毫米的线绕成的直径为10厘米的一个线团,下面隐含的方式具有几种不同的有效维数。对于10米等级的解,它是一个点,因此是一个0维的图形,对10厘米等级的解,它是一个三维球;对于10毫米等级的解,它是线的一个集合,因此是一个1维图形,对于0.1毫米等级的解,每条线变成一种柱体,而整体则变成三维的,对于0.01毫米等级的解,线团表示成有穷个点状原子,而整体变为0维的,这样继续下去:维数值将不停地跳动!

在当代物理思想中,存在着数值结果依赖于物体与观察者之间的关系这种想法,以上所述正是这种想法的特殊例证。例如,一个观察者可以看到与其邻近区域分得很开并具有D特征的区域,而另外一个观察者却只能看到一个逐渐过渡而不需要分开研究的区域!


MolyChin:上述的结论非常的重要!!!特殊的论点是,维数并不是一成不变的,随着观察者使用的测量尺度数量级的不同,同一个物体会在不同尺度下表现为不同维度。类似的粒子,物质间相互的作用力,在不同的物质尺度下,也表现为不同的作用力起主导作用(详细说明)。人这样的米级物质,水面(液面)的表面张力所产生的表面张力作用可以忽略不计,而对于水黾来说,它之所以能在水面自由行动,则完全依靠它的身体尺度(厘米级)和特殊的(其实也并不需要太特殊)构造,液面的表面张力即可足够支撑它的体重(两者在同一数量级),所以直接影响了水黾的所有生存技能和进化。

推而广之,“在当代物理思想中,存在着数值结果依赖于物体与观察者之间的关系这种想法”,即在挑战绝对的事实(结论)。即不同的尺度下,物理世界完全遵循不同的游戏规则(即由某种物理力起主导作用)。


物理世界主要的作用力和起作用尺度。

  基本相互作用为物质间最基本的相互作用,通常称为“自然界四力”或“宇宙基本力”。迄今为止观察到的所有关于物质的物理现象,在物理学中都可借助这四种基本相互作用的机制得到描述和解释。引力又称重力、电磁力、强相互作用力又称为强核力、弱相互作用力又称为弱核力。

名称相对强度 (以强相互作用为基准)性质 (相对距离的作用大小)作用的范围(米)传递相互作用的中间玻色子
强相互作用1

1/r7

10-15

胶子
电磁相互作用1/137

1/r2

无限大光子
弱相互作用

10-13

1/r5 - 7

10-18

W 及 Z 玻色子(W±,Z0)
引力相互作用

10-39

1/r2

无限大引力子


表面张力:液体具有内聚性和吸附性,这两者都是分子引力的表现形式。内聚性使液体能抵抗拉伸应力,而吸附性则使液体可以黏附在其他物体上面。在液体和气体的分界处,即液体表面及两种不能混合的液体之间的界面处,由于分子之间的吸引力,产生了极其微小的拉力。假想在表面处存在一个薄膜层,它承受着此表面的拉伸力,液体的这一拉力称为表面张力。

本书论述的对象也有一系列完全不同的维数,新奇之处在于:将人们历来认为是没有确定结构的过渡区域视为分形区域,其维数要么是一个分数,要么是描述不规则或断裂状态的“异常”整数。我愿意承认,一个区域的真实性只有在它与一个真实的理论联系在一 起时,才能完全建立,我也承认完全像Guillaume d'Occam实体一样,维数不必增加到超过需要,特别是某些分形区域可能过于狭窄而不需要加以区分。最好把这种可疑情形的研究推迟到我们能够对该对象进行清楚地描述以后。

现在是确定我在哪些科学领域借用这些例子的大好时机。众所周知,描述地球是人们自己提出的第一批正式问题之一在希腊人手中,“测地” 产生数学中的几何,然而如同在科学发展中经常出现的情况一样,数学中的几何很快忘记了它的来源,它几乎只涉及到最初问题的表面。

对此,Wiener 在1960年作过下述尽管人们已经习惯但却仍然让人吃惊的优美表述:“在自然科学中,数学语言的威力能够大到超越人们的想象力。这是一份我们既不理解也配不上的美好礼物。对此我们必须表示感谢并希望能用于我们将来的研究中。并且无论是好是坏,是使我们高兴还是惊讶,它终究要扩展到广泛的知识领域。”比如直接来源于希腊人的几何成功地解释了行星的运动,然而它却在行星的分布上遇到了困难。同样地,它可用来研究潮汐及波浪的运动,却不能用来研究大气和海洋中的涡流。总之,我们首先关心的是人们很熟悉、但很不规则以至不能立即用经典几何来研究的物体地球、月亮、天空、大气和海洋

其次,我们主要考虑人们不甚熟悉,但却能阐明有关结构的各种对象。比如,某些电话线路中误差的分布是一个极好的过渡工具。另一个例子:肥皂水中有机分子(固体,不是小水泡)的关联,物理学家已证实,上述关联是由一个相似指数来控制的。正巧这个指数是分形维数、如果推广上面这个例子,分形的应用领域将达到临界现象理论,这是当今特别活跃的领域。

(注:这个预言己完全实现了。)

所有上述自然对象都是“系统”,即由很多彼此关联的不同部分组成,分形维数描述这种关联的规则的一个方面,但这样的定义也同样可以用到“人造物体”上。自然系统和人工系统之间的一个区别是:为了了解前者,必须通过观察或实验;而关于后者,人们可以向制造者提出要求。当然,也存在一些非常复杂的人造物体,对于它们,很多意图以不能控制的方式相互影响,结果它们至少部分地终于变成“观察的物体”。在第十一章中,我们将看到一个这样的例子,即在计算机某些元件的组合方面,分形维数起着作用。


MolyChin:分形、混沌、系统(理论)、非线性(迭代)这些描述的是同一类系统,表述的是不同的层面和特征。类似相关的名词还有吸引子、涌现、自然模式等。


最后我们考察分形维数在某些分层树中的作用,这些分层树可用于解释用词频率的规律,运用维数在某些分层树中的作用,这些分层树可用于解释一种个人收入的分布方式。


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本书将普及与研究工作审慎地结合在一起

上面简单描述了本书准备介绍的对象,现在考虑讲述的方法。本书将作不断的努力来强调所涉及到的课题的多样性以及由分形来提供工具的统一性。为了能使非专业人员读懂本书,同样也作了努力把所讨论的问题都从开始讲起。最后,为了不要无益地吓走那些对数学的精确性不感兴趣的人,定义都放在第十四章。从这个角度来看,本书是一本普及性的书。

此外,由于我注意回顾了大量的历史发展,本书似乎显得深奧。这不是写科学书的习惯,特别是大部分历史发展直到很晚才引起我的注意,从而对我的研究工作的发展没有什么影响,但我很喜欢这些思想的历史,而且,我的主要论点常常在开始时受到怀疑,因此,尽管这些论点的新颖之处一目了然,我仍有很充足的理由将其扎根并积极地寻根。


然而坚持寻根求源往往引起争论。从所有的可能的前辈那儿,我提炼出一个表达清楚的好的思想,但我可能承担这种风险:可能有一个同辈人,有时是在不同情况下的同一个人,正在发展相反的观点,是否可以赞扬Poincare,他在55岁时否定了他在30岁时所提出的一些想法,仿佛不记得年轻时的观点。当争论双方论据同样不足时,若双方仅满足于罗列一些观点,而不致力于捍卫自己的观点并使对方接受时,该怎么办?如果我们的作者被忽视了,难道应当赶紧把他们双方都忘记吗?或者应该向那些人们赞同的人授予一点身后的荣誉,尽管他们过去没有被人理解?还有,由于人们只顺从富人,并且也由于一个人的作品得到认可要依靠别人的高级权威,而后者则采用它并使其在自己的名下流传,这样就应该使那些生活痕迹早己消失的人们再生吗?


Stent在1972 年极富煽动性地断言:处在时代前面的人仅能得到遗忘中的同情

至于我,我不乞求解决前辈所起的作用的问题(注1989。我承认我对历史思想的兴趣有时伴随着苦涩辛酸:事实上,经验证明通过积极地认识前人和认识自己,可以向那些抵毁他人的人提供炮弹)。尽管这一切,我仍相信人们所感兴趣的事情不仅仅是那些业已成功的思想,也是那些被人们遗忘但对学者的精神有好处的东西。因此,我坚持与过去保持联系,并在第十五章的传略中着重介绍了一些人士。

然而所有这些都关系不大,本书的主要目的是建立一个新的科学学科。首先总论题,即分数维图形的具体重要性是全新的。更特殊一些,几乎所有将要讨论的结果中大部分或全部都是本书作者得到的,许多是从未发表的。因此,首先这里涉及到的是研究工作的介绍。

是否应该汇集这些成果,并试着普及这些刚刚诞生的理论呢?我希望读者作出有根据的判断。


在鼓励任何人了解新的思想工具之前,我认为应当说明它们将能作出的贡献。数学形式主义上的进步从来不是我的主要目的,而且,我也未在本书介绍我在这方面取得的成果。一些较小的应用仅仅才形成,并用已知的概念命名。这只是第一步、如果其他的人不继续这项工作,那么它就只有美学和装饰的意义了


MolyChin:Mandelbrot提醒我们,虽然分形图形天生是绚烂美丽的,但希望有兴趣的人不要仅仅停留于表象(由于过分美丽也会成为一种罪过,对于女子如此,对于分形,也是如此)。我们更应该揭示和探索的是分形背后的东西,它的生成机制,它代表的哲学思想,它的普遍性,它具备新的科学的预测能力吗?大自然开放了它个性的一面特质来让人认识,但也许,这仅仅是开启了一扇进入宝藏山洞的大门而已。


数学是一种语言,它不仅可以用于传递信息,也可以用于引起人们的兴趣,可是必须避免那些曾被Henri Lebesgue美妙地称作“虽然的确有新意、但除了作为定义外毫无用处”的概念。

非常幸运,我的工作避开了这种危险、事实上,在大多数情况下,分形对象和分形维数的概念是完全有用的,并且由此可得。出一些基本的东西。它们谋求解决的不是人们提出的问题,而是问题本身坚持提出的想法,为了强调这点,我尽可能从人们称之为具体的悖论出发。我将指出从何种角度来看,通过不同方式得到的实验数据是自相矛盾的。如果其中每一项都是不容置疑的,我将使人们承认它们是不相容的概念,从而依此作出的解释是完全不合适的,通过引进分形和分形维数,我们将毫无困难地、而且几乎是不知不觉地解决所讨论的每个悖论


本书讲述的顺序只是由怎样讲才方便来决定。比如,本书由读者可能很少想到的问题开始,这样将可防止读者的偏见。此外,在第二章和第三章所作的讨论直到第七章才完结,那时读者已习惯于分形的思维方式了。

由于有很多例子,本书的讲述易于接受事实上,我们需要探索很多不同的课题,将以不同的方式应用分形理论来研究它们。

因此,所有这些课题无疑会相交,尽管我只打算讲每个理论中没有重大的技术上的困难的部分。我强调指出,书中一些比中等水平更复杂的小节可以跳过,这样不会迷失推理的线索,插图放在各章的后面,文中的很多补充都包括在插图的说明中,这些说明是本书的整体的组成部分,而各种数学性质的补充则放在第十四章中。


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